第十一章 三角形——11.1 与三角形有关的线段

三角形是一种基本的几何图形。从古埃及的金字塔到现代的建筑物，从巨大的钢架桥到微小的分子结构，到处都有三角形的形象。为什么在工程建筑、机械制造中经常采用三角形的结构呢？这与三角形的性质有关。
一个三角形有三个角、三条边。三个角之间有什么关系？三条边之间有什么关系？在小学我们通过测量得知三角形的内角和等于180°，但测量常常有误差，三角形有无数多个，要说明任意一个三角形都符合这一规律，就不能只靠测量，而必须通过推理证明。本章中，我们就来证明这个结论。
三角形是最简单的多边形，也是认识其他图形的基础。本章将在学习与三角形有关的线段和角的基础上，学习多边形的有关知识，如借助三角形的内角和探究多边形的内角和。学习本章后，我们不仅可以进一步认识三角形，而且还可以了解一些几何中研究问题的基本思路和方法。

11.1.1 三角形的边
在本章引言中我们提到许多三角形的实际例子。
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形(triangle)。
在一个三角形中，线段AB，BC，CA是三角形的边。点A，B，C是三角形的顶点。∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。
顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”。
△ABC的三边，有时也用a，b，c来表示。如顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示。
我们知道：三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
还有一种三角形是三边都不相等的三角形。
思考：我们知道，按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。如何按照边的关系对三角形进行分类呢？说说你的想法，并与同学交流。
以“是否有边相等”，可以将三角形分为两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形。
我们还知道：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形。
综上，三角形按边的相等关系分类如下：
三角形分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形可分为底边和腰不相等的等腰三角形和等边三角形。
下面探究三角形三边之间的大小关系。
探究：任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？能证明你的结论吗？
对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点（例如B，C)看成定点，由“两点之间，线段最短”可得 AB+AC＞BC ①
同理有 AC+BC＞AB ②
AB+BC＞AC ③
一般地，我们有三角形两边的和大于第三边。
由不等式②③移项可得BC＞AB—AC，BC＞AC—AB。这就是说，三角形两边的差小于第三边。
例 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形。
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？
解：(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm。
x+2x+2x=18
解得x=3.6
所以，三边长分别为3.6cm，7.2cm，7.2cm。
(2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论。
如果4cm长的边为底边，设腰长为xcm，则
4+2x=18
解得x=7
如果4cm长的边为腰，设底边长为xcm，则
2×4+x=18
解得x=10
因为4+4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形。
由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形。

11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
与三角形有关的线段，除了三条边，还有我们已经学过的三角形的高。如从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高(altitude)。
我们再来看两种与三角形有关的线段。
连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线(median)。
三角形的三条中线相交于一点。三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心。
画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线(angular bisector)。

11.1.3 三角形的稳定性
工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，其中的道理是什么？盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条。为什么要这样做呢？
探究：将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？
可以发现，三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变。这就是说，三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性。
还可以发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变，这是因为斜钉一根木条后，四边形变成两个三角形，由于三角形有稳定性，斜钉一根木条的窗框在未安装好之前也不会变形。
三角形的稳定性有广泛的应用，例如钢架桥、起重机等，你能再举一些例子吗？
四边形的不稳定性也有广泛的应用，例如活动挂架、伸缩门等。