第二十一章 一元二次方程——21.1 一元二次方程

方程x²+2x—4=0 ①
中有一个未知数x，x的最高次数是2。像这样的方程有广泛的应用，请看下面的问题。

问题1 有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm²，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为(100—2x)cm，宽为(50—2x)cm。根据方盒的底面积为3600cm²，得(100—2x)(50—2x)=3600，
整理，得4x²—300x+1400=0，化简，得
x²—75x+350=0 ②
由方程②可以得出所切正方形的具体尺寸。

问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
全部比赛的场数为4×7=28。
设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x—1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共1/2x(x—1)场。
列方程1/2x(x—1)=28
整理，得
(1/2)x²—(1/2)x=28
化简，得x²—x=56 ③
由方程③可以得出参赛队数。

思考：方程①②③有什么共同点？
可以发现，这些方程的两边都是整式，方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2。同样地，方程4x²=9，x²+3x=0，3y²—5y=7—y等也是这样的方程。像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown)。
一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0(a≠0)。
其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根(root)。

例 将方程3x(x—1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。
解：去括号，得3x²—3x=5x+10
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x²—8x—10=0。
其中二次项系数为3，一次项系数为—8，常数项为—10。